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排出率の推定

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ガチャの確率に戻る



★4排出率の推定

★4排出率を推定することを、統計学的には母比率の推定と呼びます。


前提として、ガチャ回数が十分に多く(100回以上)、出現した★4の回数が十分に多い(6回以上)とします。

出現した★4の回数をガチャ回数で割ったものをRと言うことにします。

R=(出現した★4の回数)÷(ガチャ回数)

です。Rは単純な★4排出率の推定値となります。

また、ガチャ回数もnという文字に置き換えておきます。

n=(ガチャ回数)

です。


あるdという値があるとします。

このdとRを使って

「★4排出率が(R-d)~(R+d)の間にある確率は95%である。」

と言いたいとします。

このときのdは多くの統計書に載っていて、次の式で表されます。

d=1.96√(R(1-R)/n)


Excel上では、dは次のように表すことができます。

=CONFIDENCE.NORM(0.05,SQRT(R*(1-R)),n)


例:ガチャを200回回して★4が17回出現した場合

R=17÷200=0.085

であるからExcelに

=CONFIDENCE.NORM(0.05,SQRT(0.085*(1-0.085)),200)

を入力すると、0.03865が得られる

範囲の下限は

0.085-0.03865=0.04635

範囲の上限は

0.085+0.03865=0.12365

以上より

「★4排出率が4.6%~12.4%の間にある確率は95%である」

ということがわかる


例の場合では95%を信頼度と呼び、4.6%~12.4%を信頼区間と呼びます。

この言葉を使って

「★4排出率の信頼度95%の信頼区間は4.6%~12.4%である」

と言うこともできます。


排出率の推定値がが10%だったとき、信頼区間は下のグラフのようにガチャ回数が増えるに連れて狭まっていきます。

100回ガチャを回したときの信頼区間

出現した
★4の回数
★4排出率の
推定値
[%]
★4排出率の
信頼度
95%の
信頼区間
[%]
66.01.3~10.7
77.01.9~12.1
88.02.6~13.4
99.03.3~14.7
1010.04.1~15.9
1111.04.8~17.2
1212.05.6~18.4
1313.06.4~19.6
1414.07.1~20.9
1515.08.0~22.0
1616.08.8~23.2
1717.09.6~24.4

500回ガチャを回したときの信頼区間

出現した
★4の回数
★4排出率の
推定値
[%]
★4排出率の
信頼度
95%の
信頼区間
[%]
102.00.7~3.3
153.01.5~4.5
204.02.2~5.8
255.03.0~7.0
306.03.9~8.1
357.04.7~9.3
408.0 5.6~10.4
459.0 6.4~11.6
5010.0 7.3~12.7
5511.0 8.2~13.8
6012.0 9.1~14.9
6513.010.0~16.0

グラフで表すと下のようになります。

キャラガチャ合算2011回による検証値

この検証によりキャラガチャにおいて次の結論が得られました。


★2排出率の推定値は

50.1%


★2排出率の信頼度95%の信頼区間は

47.8%~52.3%


★3排出率の推定値は

40.1%


★3排出率の信頼度95%の信頼区間は

37.9%~42.3%


★4排出率の推定値は

9.8%


★4排出率の信頼度95%の信頼区間は

8.4%~11.1%



ここの排出率推定の結果はこのページにある「2015年8月31日 キャラガチャ641連」と「2016年1月29日 キャラガチャ913連」と「2016年2月29日 キャラガチャ457連」のデータを合算して検証したものです。


ガチャ回数等
ガチャ回数2011回
単発ガチャ回数9回
「10回+1ガチャ」の回数182回
消費ジュエル数4万5725個
iOSでの最安値68万5875円
Androidでの最安値74万745円

★2★3★4
出現回数 [回]1007807197
出現比率 [%]50.140.19.8
d [%]2.22.11.3
信頼度95%の
信頼区間 [%]
47.8~52.337.9~42.38.4~11.1

2015年8月31日 キャラガチャ641連による検証値


検証動画 You Tube へのリンク

https://www.youtube.com/watch?v=zD4m_fkMPxs


検証データ
ジュエルの
チャージ時刻
出現回数備考
★2★3★4
533オウガ×2
542
470
380
740
740
560
254
821
551
3:38560
920
821
551
641
632
380
452
5:19560
533
830
731
461
650
362オウガ×2
560
7:28470
812
740
551
263
533オウガ
641オウガ
533オウガ
560
740
10:23641
920
740
911
740
443オウガ
272
353
740
542
12:19371
641
731
551
740
722
542
210単発×3
14:20542オウガ
470
371
731
641シャルロット
合計32025863

検証結果


ガチャ回数等
ガチャ回数641回
単発ガチャ回数3回
「10回+1ガチャ」の回数58回
消費ジュエル数1万4575個
iOSでの最安値21万8625円
Androidでの最安値23万6115円

★2★3★4オウガ+
シャルロット
オウガシャルロット
出現回数 [回]320258631091
出現比率 [%]49.940.29.81.61.40.16
d [%]3.93.82.31.00.9※注
信頼度95%の
信頼区間 [%]
46~53.836.4~44.17.5~12.20.6~2.60.4~2.4

※注 出現回数が少なすぎるためこの方法では検証できません



以下参考(小ネタ)


資金の溶解速度(iOSでの最安値、動画の再生時間を基準にしています)

78万円/時


各キャラクターの
出現比率から推定される★4排出率
オウガ+
シャルロット
10.9%
オウガ19.7%
シャルロット2.2%

以下では★4排出率を検証値(=63/641)と仮定し、ガチャに★4が14種類あるとします。


ガチャを641回回して
★4の1点狙いをするとき
ガチャ1回の成功確率0.70%
1点狙いが失敗する確率1.1%
1点狙いが成功する確率98.9%
狙っている★4の出現回数が
1回以下である確率
6.0%
狙っている★4の出現回数が
9回以上である確率
4.0%
狙っている★4が
出現する回数の期待値
4.5回

下の図で、赤い部分は動画投稿者が出したシャーロットの数1回以下となる確率、

青い部分は動画投稿者が出したオウガの数9回以上となる確率です。


★4の1点狙いが成功するまで
ガチャを回すときの期待値
ガチャ回数142回
消費ジュエル数
(10回+1ガチャ)
3227個
iOSでの最安値4万8409円

「10回+1ガチャ」を58回ガチャったとき、「10回+1ガチャ」1回に特定の1種類の★4が2回以上出現する事象が2回以上起こる確率

1.0%


動画投稿者は再生時刻 1:14 のオウガが2回出現した場面にて

「ちなみに、僕オウガもう2回出ているんですよね。」

と言っています。


2016年1月29日 キャラガチャ913連による検証値

検証動画 You Tube へのリンク

https://www.youtube.com/watch?v=DrDbBhv8i2s


検証データ
時刻出現回数備考
★2★3★4
731
542
263
731
452
551
632
821
6:20722アーモンドプレミオ
461
371
641アーモンドプレミオ
830
10:00731
803
722アーモンドプレミオ
650
731
650
452
362アーモンドプレミオ
470
560
830
650
560
713
15:00461
740
641
353
461
641
542
542
641アーモンドプレミオ
542
542
740
461
542アーモンドプレミオ
722
821
18:250110全部★3
551
461
920
731
20:03362
560
740
722
821
461
830
920
830
353
830
650
461
542
731
380
650
461
542
461
560
551
560
551
551
650
281
812
641
25:13740
371
731
641
542
25:48641アーモンドピーク
合計46236487

検証結果


ガチャ回数等
ガチャ回数913回
単発ガチャ回数0回
「10回+1ガチャ」の回数83回
消費ジュエル数2万750個
iOSでの最安値31万1250円
Androidでの最安値33万6150円

★2★3★4アーモンドプレミオ+
アーモンドピーク
アーモンドプレミオアーモンドピーク
出現回数 [回]46236487761
出現比率 [%]50.639.99.50.80.70.11
d [%]3.23.21.90.60.5※注
信頼度95%の
信頼区間 [%]
47.3~53.936.6~43.17.6~11.50.2~1.40.1~1.2

※注 出現回数が少なすぎるためこの方法では検証できません



以下参考(小ネタ)


資金の溶解速度(iOSでの最安値、動画の再生時間を基準にしています)

70万円/時


最高瞬間溶解速度(22:20頃、6秒間に250個、3750円)

225万円/時


各キャラクターの
出現比率から推定される★4排出率
アーモンドプレミオ+
アーモンドピーク
6.1%
アーモンドプレミオ10.5%
アーモンドピーク1.8%

以下では★4排出率を検証値(=87/913)と仮定し、ガチャに★4が16種類あるとします。


ガチャを913回回して
★4の1点狙いをするとき
ガチャ1回の成功確率0.60%
1点狙いが失敗する確率0.43%
1点狙いが成功する確率99.6%
狙っている★4の出現回数が
1回以下である確率
2.8%
狙っている★4の出現回数が
6回以上である確率
46.1%
狙っている★4が
出現する回数の期待値
5.4回

★4の1点狙いが成功するまで
ガチャを回すときの期待値
ガチャ回数168回
消費ジュエル数
(10回+1ガチャ)
3818個
iOSでの最安値5万7272円

次のものは★3排出率を検証値(=364/913)と仮定しています。

「10回+1ガチャ」を83回ガチャったとき、「10回+1ガチャ」1回で出現するキャラのすべてが★3となる事象が1回以上起こる確率

0.34%


2016年2月29日 キャラガチャ457連による検証値


検証動画 You Tube へのリンク

https://www.youtube.com/watch?v=o2iLha2NF54


検証データ
時刻出現回数備考
★2★3★4
830
830
641
470
560同じ★3キャラ3連続
5:23533同じ★2キャラ3連続
452リンデ
551同じ★2キャラ3連続
470
452
470
10:05461
551
632
830
650
740
551
452リンデ
335
362
15:13452リンデ
551
641
461
542
560
551
830
17:30551リンデ
821
632
830
452リンデ
344
551
20:29821
551
830
731
632
21:28240単発×6
合計22518547

検証結果


ガチャ回数等
ガチャ回数457回
単発ガチャ回数6回
「10回+1ガチャ」の回数41回
消費ジュエル数1万400個
iOSでの最安値15万6000円
Androidでの最安値16万8480円

★2★3★4
出現回数 [回]22518547
出現比率 [%]49.240.510.3
d [%]4.64.52.8
信頼度95%の
信頼区間 [%]
44.6~53.935.9~457.4~13.1

信頼区間をある範囲に収めるのに必要なガチャ回数

信頼度95%の信頼区間を(R-d)~(R+d)の間に収めたいときのガチャ回数nは、★4排出率のおよその値をRとして

d>1.96√(R(1-R)/n)

をnについて解くことで得られます。すなわち

n>3.84R(1-R)/d^2

です。


例えば、おそらく★4排出率が5%だと予想して、信頼度95%の信頼区間を(5-0.7)%~(5+0.7)%の範囲に収めたいとき、必要なガチャ回数は

n>3.8400×5%×(1-5%)÷0.7%^2=3722.4…

より、約3730回以上です。


逆に見れば、3730回回したときの★4の出現比率が5%だった時、★4排出率の信頼度95%の信頼区間がおよそ4.3%~5.7%であることを意味します。


この必要なガチャ回数をdと排出率の推定値を変えて表したのが下のグラフです。

d
[%]
信頼度95%の信頼区間を
(R-d)~(R+d)の範囲に収めるのに必要なガチャ回数
★4排出率のおよその値 R [%]
34568101215
0.31250016400203002410031500384004510054400
0.5447059007300867011400139001630019600
0.7229030103730442057707060828010000
0.817502310285033904420540063407650
0.913801830226026803490427050106050
1.011201480183021702830346040604900
1.19241220151017902340286033604050
1.27761030127015101970240028203400
1.3662873108012901680205024002900
1.54976568119631260154018102180
2.028036945654270786410201230
2.5179236292347453553650790
3.0-164203241315384460550
3.5--149177231283340400
4.0--114136177216260310
4.5---107140171210250
5.0----114139170200

1より十分に小さいRの場合

定数kを用いて

d=kR (0<k<1)

と表すことにします。

このとき、信頼度95%の信頼区間を(1-k)R~(1+k)Rの間に収めたいときのガチャ回数nは

n>3.84(1-R)/(k^2*R)

となります。

ここでRが1より十分に小さいとき、R/(1-R)≒Rの近似を使うことができるので、この式は

n>3.84/(k^2*R)

と表すことができます。

これは、信頼度95%の信頼区間を(1-k)R~(1+k)Rとしたいとき、★4排出率のおよその値の逆数の(3.84/k^2)倍が必要なガチャ回数であるということを意味します。


例:★4排出率のおよその値が1%、k=0.2とした場合

信頼度95%の信頼区間を0.8%~1.2%の間に収めるのに必要なガチャ回数は

3.84/(0.2^2*1%)=9600

より9600回


式に出てくるn回だけガチャを回したときに★4が出現する回数は

nR=3.84/(k^2*R)*R=3.84/k^2

となります。

言い換えると、(3.84/k^2)回★4が出現すればその信頼度95%の信頼区間が(1-k)R~(1+k)Rとなります。


★4が出現する回数をaとすれば

k=√(3.84/a)=1.96/(√a)

と計算できます。


例:★4排出率のおよその値Rが1より十分に小さく、k=0.2とした場合

信頼度95%の信頼区間を0.8R~1.2Rの間に収めるのに必要な★4の出現回数は

3.84/0.2^2=96

より96回


例:★4排出率のおよその値Rが1より十分に小さく、★4が10回出現した場合

信頼度95%の信頼区間を(1-k)R~(1+k)Rと表記するときのkは

1.96/(√10)=0.6198…

より約0.62


kを横軸にとりaを求めたものが下のグラフです。

数値表
ka=3.84/k^2
0.051536
0.075683
0.1384
0.125246
0.15171
0.296
0.343
0.515
0.611
0.78
0.86

ak=1.96/√a
60.80
70.74
80.69
90.65
100.62
120.57
150.51
200.44
500.28
1000.20
2000.14
5000.088
10000.062

1より十分に小さいとはいえないRの場合

Rが1より十分に小さいとは言えない場合、信頼度95%の信頼区間を(1-k)R~(1+k)Rの間に収めたいときの★4の出現回数aは

a>3.84(1-R)/(k^2)

です。(1-R)<1から、Rが1より十分に小さいときよりもaは少なくなります。


結論

排出率のおよその値をRとして信頼度95%の信頼区間を0.8R~1.2Rの間に収めるのは現実的に有用であると思われます。


したがって、一般的なガチャにおいて

排出率を推定したいレアリティのアイテムを100回以上出現させる
有用な排出率の推定値が得られる

ということを覚えておくとよさそうです。

コメント (排出率の推定)
  • 総コメント数12
  • 最終投稿日時 2016/02/03 15:39
    • 冒険者さん
    12
    2016/02/03 15:39 ID:evaa847q

    >>1

    頭悪い人にはわかんない事だから何も書き込まない方がいいよ。自分でバカな事自己紹介して恥ずかしくないの?

    • 冒険者さん
    11
    2016/01/23 18:28 ID:p7b7901s

    >>5

    あほですね

    • 冒険者さん
    10
    2015/10/07 10:54 ID:tmuhhe5v

    いやいや理屈を述べないで大体こんくらいっすねなんて信用出来んだろ。これはホントに助かる

    • 冒険者さん
    9
    2015/10/06 02:45 ID:r9zacu83

    年代的に子供も多いしイミフなのもしょうがないやろ

    大学くらいになれば統計学の偉大さが分かるはず

    • 冒険者さん
    8
    2015/09/09 15:41 ID:kdqujbke

    187+単発20回くらいでシャルなし

    ・・・ということは俺も641回回せってことなのかね・・・。

    • 冒険者さん
    7
    2015/09/07 12:01 ID:hmj11601

    オウガ狙いで66連してシャルは3、オウガ無し・・・。

    武器みたいに星4×4人と交換してくれんかね。

    • 冒険者さん
    6
    2015/09/05 11:56 ID:rijit2vo

    久々にお詫びのジュエルで11連1回やったらシャル2だったから出やすいのかと思ってた

    • 冒険者さん
    5
    2015/09/04 22:03 ID:mt8c3qtz

    だらだらと書きすぎて読む気がしない

    ☆2約50% ☆3約40% ☆4約10%

    この1行だけでいいよ

    • 冒険者さん
    4
    2015/09/02 08:34 ID:kh23tjs3

    心を慰めるために失敗の理屈を知りたい人もいるんだよ

    意味の分からん人はただ悔しがるのみ

    • 冒険者さん
    3
    2015/09/01 20:48 ID:jjqgxmqd

    分かりやすいからいいと思うよ。

    知らん人には信頼区間?クソワロとか思う人いるだろうけどね。

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