排出率の推定

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★4排出率の推定

★4排出率を推定することを、統計学的には母比率の推定と呼びます。

前提として、ガチャ回数が十分に多く（100回以上）、出現した★4の回数が十分に多い（6回以上）とします。

出現した★4の回数をガチャ回数で割ったものをRと言うことにします。

R=(出現した★4の回数)÷(ガチャ回数)

です。Rは単純な★4排出率の推定値となります。

また、ガチャ回数もnという文字に置き換えておきます。

n=(ガチャ回数)

です。

あるdという値があるとします。

このdとRを使って

「★4排出率が(R-d)～(R+d)の間にある確率は95%である。」

と言いたいとします。

このときのdは多くの統計書に載っていて、次の式で表されます。

d=1.96√(R(1-R)/n)

Excel上では、dは次のように表すことができます。

=CONFIDENCE.NORM(0.05,SQRT(R*(1-R)),n)

例：ガチャを200回回して★4が17回出現した場合

R=17÷200=0.085

であるからExcelに

=CONFIDENCE.NORM(0.05,SQRT(0.085*(1-0.085)),200)

を入力すると、0.03865が得られる

範囲の下限は

0.085-0.03865=0.04635

範囲の上限は

0.085+0.03865=0.12365

以上より

「★4排出率が4.6%～12.4%の間にある確率は95%である」

ということがわかる

例の場合では95%を信頼度と呼び、4.6%～12.4%を信頼区間と呼びます。

この言葉を使って

「★4排出率の信頼度95%の信頼区間は4.6%～12.4%である」

と言うこともできます。

排出率の推定値がが10％だったとき、信頼区間は下のグラフのようにガチャ回数が増えるに連れて狭まっていきます。

100回ガチャを回したときの信頼区間

500回ガチャを回したときの信頼区間

グラフで表すと下のようになります。

キャラガチャ合算2011回による検証値

この検証によりキャラガチャにおいて次の結論が得られました。

★2排出率の推定値は

50.1%

★2排出率の信頼度95%の信頼区間は

47.8%～52.3%

★3排出率の推定値は

40.1%

★3排出率の信頼度95%の信頼区間は

37.9%～42.3%

★4排出率の推定値は

9.8%

★4排出率の信頼度95%の信頼区間は

8.4%～11.1%

ここの排出率推定の結果はこのページにある「2015年8月31日　キャラガチャ641連」と「2016年1月29日　キャラガチャ913連」と「2016年2月29日　キャラガチャ457連」のデータを合算して検証したものです。

2015年8月31日　キャラガチャ641連による検証値

検証動画 You Tube へのリンク

https://www.youtube.com/watch?v=zD4m_fkMPxs

検証結果

※注 出現回数が少なすぎるためこの方法では検証できません

以下参考（小ネタ）

資金の溶解速度(iOSでの最安値、動画の再生時間を基準にしています）

78万円/時

以下では★4排出率を検証値(=63/641)と仮定し、ガチャに★4が14種類あるとします。

下の図で、赤い部分は動画投稿者が出したシャーロットの数1回以下となる確率、

青い部分は動画投稿者が出したオウガの数9回以上となる確率です。

「10回+1ガチャ」を58回ガチャったとき、「10回+1ガチャ」1回に特定の1種類の★4が2回以上出現する事象が2回以上起こる確率

1.0%

動画投稿者は再生時刻 1:14 のオウガが2回出現した場面にて

「ちなみに、僕オウガもう2回出ているんですよね。」

と言っています。

2016年1月29日　キャラガチャ913連による検証値

検証動画 You Tube へのリンク

https://www.youtube.com/watch?v=DrDbBhv8i2s

検証結果

※注 出現回数が少なすぎるためこの方法では検証できません

以下参考（小ネタ）

資金の溶解速度(iOSでの最安値、動画の再生時間を基準にしています）

70万円/時

最高瞬間溶解速度(22:20頃、6秒間に250個、3750円)

225万円/時

以下では★4排出率を検証値(=87/913)と仮定し、ガチャに★4が16種類あるとします。

次のものは★3排出率を検証値(=364/913)と仮定しています。

「10回+1ガチャ」を83回ガチャったとき、「10回+1ガチャ」1回で出現するキャラのすべてが★3となる事象が1回以上起こる確率

0.34%

2016年2月29日　キャラガチャ457連による検証値

検証動画 You Tube へのリンク

https://www.youtube.com/watch?v=o2iLha2NF54

検証結果

信頼区間をある範囲に収めるのに必要なガチャ回数

信頼度95%の信頼区間を(R-d)～(R+d)の間に収めたいときのガチャ回数nは、★4排出率のおよその値をRとして

d>1.96√(R(1-R)/n)

をnについて解くことで得られます。すなわち

n>3.84R(1-R)/d^2

です。

例えば、おそらく★4排出率が5%だと予想して、信頼度95%の信頼区間を(5-0.7)%～(5+0.7)%の範囲に収めたいとき、必要なガチャ回数は

n>3.8400×5%×(1-5%)÷0.7%^2=3722.4…

より、約3730回以上です。

逆に見れば、3730回回したときの★4の出現比率が5%だった時、★4排出率の信頼度95%の信頼区間がおよそ4.3%～5.7%であることを意味します。

この必要なガチャ回数をdと排出率の推定値を変えて表したのが下のグラフです。

表

1より十分に小さいRの場合

定数kを用いて

d=kR (0<k<1)

と表すことにします。

このとき、信頼度95%の信頼区間を(1-k)R～(1+k)Rの間に収めたいときのガチャ回数nは

n>3.84(1-R)/(k^2*R)

となります。

ここでRが1より十分に小さいとき、R/(1-R)≒Rの近似を使うことができるので、この式は

n>3.84/(k^2*R)

と表すことができます。

これは、信頼度95%の信頼区間を(1-k)R～(1+k)Rとしたいとき、★4排出率のおよその値の逆数の(3.84/k^2)倍が必要なガチャ回数であるということを意味します。

例：★4排出率のおよその値が1%、k=0.2とした場合

信頼度95%の信頼区間を0.8%～1.2%の間に収めるのに必要なガチャ回数は

3.84/(0.2^2*1%)=9600

より9600回

式に出てくるn回だけガチャを回したときに★4が出現する回数は

nR=3.84/(k^2*R)*R=3.84/k^2

となります。

言い換えると、(3.84/k^2)回★4が出現すればその信頼度95%の信頼区間が(1-k)R～(1+k)Rとなります。

★4が出現する回数をaとすれば

k=√(3.84/a)=1.96/(√a)

と計算できます。

例：★4排出率のおよその値Rが1より十分に小さく、k=0.2とした場合

信頼度95%の信頼区間を0.8R～1.2Rの間に収めるのに必要な★4の出現回数は

3.84/0.2^2=96

より96回

例：★4排出率のおよその値Rが1より十分に小さく、★4が10回出現した場合

信頼度95%の信頼区間を(1-k)R～(1+k)Rと表記するときのkは

1.96/(√10)=0.6198…

より約0.62

kを横軸にとりaを求めたものが下のグラフです。

1より十分に小さいとはいえないRの場合

Rが1より十分に小さいとは言えない場合、信頼度95%の信頼区間を(1-k)R～(1+k)Rの間に収めたいときの★4の出現回数aは

a>3.84(1-R)/(k^2)

です。(1-R)<1から、Rが1より十分に小さいときよりもaは少なくなります。

結論

排出率のおよその値をRとして信頼度95%の信頼区間を0.8R～1.2Rの間に収めるのは現実的に有用であると思われます。

したがって、一般的なガチャにおいて

排出率を推定したいレアリティのアイテムを100回以上出現させると
有用な排出率の推定値が得られる

ということを覚えておくとよさそうです。