☆4が出る確率の考察

• このページでは、「★4」という場合、ガチャで出現するときのレアリティが★4の武器またはキャラクターを指すことにします。
• 便宜上★4と呼びますが、ガチャの排出率はわからないのですから、実測したキャラガチャの結果と武器ガチャの結果を混合するべきではありません。
• キャラクターの場合、特に指定の無い限り、★4が虹のルーンに変わる・変わらないにかかわらず「★4が1回出現する」と数えます。
• 確率はガチャを単発で回した場合です。
• 運営が定めた★4の出現確率と、計算によって求められる出現確率の混同を避けるため、運営が定めた「★4をガチャが排出する確率」を「★4排出率」と呼び、以降これを用いることにします。
• (★4以外を排出する確率)=1-(★4排出率）です。
• A^Bという表記は「AのB乗」という意味です。
• ★4排出率は、運営が告知した場合を除いて、常に一定とします。
• 同じガチャを回したとき、★4の1種類が出現する確率は、どの★4でも同じだとします。
• 以下の計算式および表の値は数学的なものであり、キャラガチャ・武器ガチャにかかわらず成り立ちます。
• ★4を★2、★3★5に読み替えても成り立ちます。
• ただし、武器ガチャが「いきなり★5」イベント期間のとき、★4を「★4または★5」に読み替えた場合、「★4または★5」の種類の数を用いる確率の計算式・表の値は成り立ちません。
• また、★4を該当のレアリティのアイテムに読み替えれば、白猫プロジェクト以外の一般的なガチャにも適用できます。
• ★4排出率を推定するとき、リセマラをした場合、リセマラとして回した中で必ず1回は★4が出現しているわけですから、リセマラ分のデータは除外すべきです。
• ★4排出率を除く主な確率の有効数字は小数第1位までです。
• 100.0%という表記は「確率99.95%以上」、0.0%という表記は「確率0.05%未満」という意味です。
• ただし、小数点のつかない100%・0%は、必ず起こること・決して起こらないことを表すことにします。

くじ引きとの違い

現実のカプセルトイ(ガチャガチャ)やくじ引きには、くじと景品に有限な個数が用意されています。

カプセルトイにどうしてもほしいものがあっても、無くなってしまえば引けません。

福引きではすべてのくじ(玉)が出尽くせば、誰かしらに1等賞が当たります。

おみくじで中身を変えなければ、いつか誰かが大吉を引くでしょう。

毎年どこかの宝くじで、億単位のお金を当てる人がいます。

どのくじも引き尽くせば、誰かが必ず当たりを引けるシステムです。逆に言えば、他の誰かが必ずはずれを引くシステムです。

しかし、ソーシャルゲームで展開される仮想的なガチャというシステムには、その景品の個数に制限がありません。ガチャ回数にも制限がありません。

当然ガチャを回し尽くすことはできません。

ですから、当たりが確定する枠を作らない限り、全員が外れを引く可能性があります。逆に、全員が当たりを引く可能性があります。(どちらの可能性も限りなく0に近いです)

これは、ガチャが前回の結果に依らず、常に一定の確率で景品(アイテム)を排出しているからです。

例えば、カプセルトイを直前に回した人がレアアイテムを手に入れたとき、次に自分が回してそのレアアイテムを入手できる可能性は、直前に回した人よりも低くなります。

ソーシャルゲームのガチャを直前に回した人がレアアイテムを手に入れたとき、次に自分が回してそのレアアイテムを入手できる可能性は、直前に回した人と同じです。

ガチャにおける確率は、カプセルトイやくじ引きの確率よりも、コインやさいころを投げたときの確率に似ています。

一様な確率

★4排出率は運営が変更をしない限り、常に一定です。次のガチャを回して★4が出現する確率は、その前に回したガチャの結果にかかわらず、常に★4排出率と一致します。

例えば、★4排出率が10%のガチャを10回回したときを考えます。

1回目に★4が出現する確率は10%です。2回目に★4が出現する確率は、1回目に★4が出る・出ないによらず、10%です。10回目に★4が出現する確率は、もちろん10%です。

別の見方をして、10回以内に★4が1回でも出現する確率を求めると、65.1%となります。

仮に、9回連続で★4が出なかった場合、「もうそろそろ出てほしい」と思うかもしれませんが、10回目に★4が出現する確率が65.1%になるわけではありません。

当然、10回目に★4が出る確率は10%であることに変わりません。

10回目を0回目と数え直せば、今後10回以内に★4が1回でも出現する確率は、やはり65.1%です。

ランダムの認識

人はランダムに起こるはずの現象にパターンを感じることがあります。

下の図は32×32個の四角形を、■:□=1:9となるようにランダムに敷き詰めたものです。

単発と連続

白猫プロジェクトではキャラと武器のどちらも単発と連続のガチャを回すことができます。それでは、単発と連続どちらのガチャを回した方がよいのでしょうか。

武器ガチャの場合、単発、5連、10連の中から選ぶことができ、1回武器が出現する当たりの消費ジュエル数は同じです。どれでもいくつでもいいから★4が出てほしいと思うなら、どれを選んでも同じです。特定の武器を狙っている場合では、単発で回したときはその武器が出た時点でガチャを回すのをやめてよいのですから、連続で回したときはその武器が出た後に出現した分は不要だったことになります。したがって、ほしい武器があってほかの武器がいらない場合は単発で回した方がよいことになります。

キャラガチャの場合、単発、10回+1ガチャのどちらかを選ぶことができ、1回キャラが出現する当たりの消費ジュエル数は10回+1ガチャのほうが少ないです。どの★4が出てもいいと思うなら、ジュエル効率のよい10回+1ガチャを選ぶべきです。特定の★4キャラを狙っている場合、そのキャラが出現するまでにまでにガチャを回す回数の期待値が問題になります。★4排出率が10%のガチャに★4が7種類あるとき、1種類を狙うような場合ではその期待値は70回となります。これは10回+1ガチャの出現回数11回よりも多くなりますから、ほしいキャラがある場合も10回+1ガチャを回した方がよいことになります。

★4排出率をp%と仮定するとき、次のようにExcel上に入力して連続コピーをすることにより、簡易的なガチャのシミュレーションをすることができます。

=IF(RAND()<p%,"★","☆")

★4を「★」、★4以外を「☆」に見立てています。

※操作をするごとに結果が変わります。

計算もしたいときには、次のように入力して連続コピーします。

=IF(RAND()<p%,1,0)

連続コピーした範囲を、

• COUNT関数を使って求めた個数がガチャ回数です。
• SUM関数を使って求めた合計が出現回数です。
• AVERAGE関数を使って求めた平均が比率です。

※関数を使わなくても、範囲を選択すれば、下のステータスバーに平均、データの個数、合計が表示されます。

出現回数の期待値と分散

ガチャを回した結果を、「★4が出現する」と「★4以外が出現する」に分けるとします。一般的なガチャを回すことは独立な試行です（ガチャを回したある結果がガチャを回したほかの結果に影響しない）。★4排出率が一定だとすると、その確率分布は二項分布になります。

ある回数ガチャを回したとき、★4が出現する回数の期待値は、

(ガチャ回数)×(★4排出率)

で表されます。

例：★4排出率が10%のガチャを22回回した場合

★4が出現する回数の期待値は

20×10%=2.2

より2.2回

期待値は下図のようにガチャ回数に比例します。

データのばらつき具合を表す分散は

(ガチャ回数)×(★4排出率)×(★4以外を排出する確率)

となります。

式からわかるように、ガチャ回数が増加すると、★4の出現回数の分散も増加します。言い換えれば、ガチャを回せば回すほど、★4の出現回数のばらつき具合が大きくなります。

さらに、一般に★4排出率は0.5以下だと考えられますから、★4排出率が大きくなるときも★4の出現回数のばらつき具合は大きくなります。

この分散は下のグラフのようにガチャ回数に比例します。

ガチャ確率の計算式

★4排出率がp%のガチャをn回回したときに、★4がa回出現する確率[%]はExcel上で次の式で表せます。

=BINOM.DIST(a,n,p%,FALSE)*100

例：★4排出率が10%のガチャを22回回したとき★4が2回出現する確率を求めたい場合

Excelに次のように入力

=BINOM.DIST(2,22,10%,FALSE)*100

すると値が28.08…と出てくるので、求める確率は約28.1%と分かる

ガチャを10回回したときと100回回したときの分布を下の図に示します。

10回回したとき

100回回したとき

なお、FALSEをTRUEに変えてExcelに次のように入力すると、★4排出率がp[%]のガチャをn回回したときに、★4が出現するのがa回以下である確率[%]を求められます。

=BINOM.DIST(a,n,p%,TRUE)*100

ガチャをある回数回すまでに★4が1回以上出現する確率は

1-(★4以外を排出する確率)^(ガチャ回数)

です。

★4が1回出現するまでにガチャを回す回数の期待値は

1/(★4排出率)

です。

例：★4排出率が10％のガチャを回す場合

22回目までに★4が1回以上出現する確率は

1-(1-10%)^22=0.9015…

より約90.2%

★4が1回出現するまで回す回数の期待値は

1/10%=10

より10回

1回以上出現するまで回すときのグラフは以下のようになります。

なお、★4が出現するまでにガチャを回す回数の確率は幾何分布に従います。

(11回刻み)

ガチャを何回か回すまでに★4がある回数以上出現する確率は

1-(何回か回すときに出現する★4の回数がある回数未満である確率)

です。

何回か回すときに出現する★4の回数がある回数未満である確率は、ガチャの確率分布の説明にある最下行の式を使って表せます。

したがって、★4排出率がp[%]のガチャをn回回すまでに、★4がa回以上出現する確率[%]は、Excel上で次のようになります。

=(1-BINOM.DIST(a-1,n,p%,TRUE))*100

★4がある回数出現するまでにガチャを回す回数の期待値は

(ある回数)/(★4排出率)

で表せます。

例：★4排出率が10%のガチャを回す場合

50回回すまでに★4が4回以上出現する確率はExcelに次のように入力

=(1-BINOM.DIST(4-1,50,10%,TRUE))*100

すると値が74.97…と出てくるので、約75.0%だと分かる

★4が4回以上出現するまでにガチャを回す回数の期待値は

4/10%=40

より40回

3回以上出現する場合のグラフを示します。

なお、★4がある回数出現するまでにガチャを回す回数の確率は負の二項分布に従うので、該当する関数を使って次のように入力しても計算結果は同じです。

=NEGBINOM.DIST(n-a,a,p%,TRUE)*100

ガチャの★4にいくつかの種類があるとき、特定の1種類の★4をガチャが排出する確率は

(★4排出率)/(★4の種類の数)

と表せます。ガチャをある回数回すまでに★4の1点狙いが成功する確率は、★4が1回以上出現する確率と同様にして

1-(特定の1種類の★4以外をガチャが排出する確率)^(ガチャ回数)

です。

※ただし、(特定の1種類の★4以外をガチャが排出する確率)=1-(特定の1種類の★4をガチャが排出する確率)。

★4の1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値は、これも同様にして

1/(特定の1種類の★4をガチャが排出する確率)= (★4の種類の数)/(★4排出率)

と表せます。

例：★4排出率が10%のガチャに★4が16種類ある場合

ガチャを110回回すまでに★4の1点狙いが成功する確率は

1-(1-10%/16)^110=0.4982…

より約49.8%

★4の1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値は

16/10%=160

より160回

特定の何種類かの★4のどれかを引き当てる確率は、(特定の1種類の★4をガチャが排出する確率)を

(★4排出率) ×(引き当てたい★4の種類の数)/(★4の種類の数)

と置き換えることで求められます。

ガチャに★4が8種類あるとき、★4の1点狙いが成功する確率、

または、★4が16種類あるとき、特定の2種類のどちらかを引き当てる確率、

または、★4が24種類あるとき、特定の3種類のどれかを引き当てる確率、

または、★4が32種類あるとき、特定の4種類のどれかを引き当てる確率

ガチャに★4が16種類あるとき、★4の1点狙いが成功する確率

または、★4が32種類あるとき、特定の2種類のどちらかを引き当てる確率

ガチャに★4が24種類あるとき、★4の1点狙いが成功する確率

ガチャの★4排出率をp、★4の種類の数をs、ガチャ回数をn、確率をrとしたとき、1点狙いが成功する確率がrとなるまでにガチャを回す回数は、これまでの考察から

1-(1-p/s)^n=r

をnについて解くことで得られます。

この結果は自然対数を用いて

n=ln(1-r)/ln(1-p/s)

となります。

ここで、一般にガチャが特定の1種類の★4を排出する確率p/sは十分に小さいと考えられますから、xが十分小さいときの近似式

ln(1+x)≒x

を用いることができます。したがって

n=-ln(1-r)/(p/s)

と表すことができます。

この式の中の

1/(p/s)=s/p

は★4の1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値です。

よって、1点狙いが成功する確率がある確率となるまでにガチャを回す回数は

(★4の1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値)×(成功確率から求められる数値)

で計算することができます。

例：★4排出率が10%、★4が16種類あるガチャを回す場合

r=95%としたとき

-ln(1-95%)≒3.0

となる。★4の1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値は

16/10%=160

より160回。したがって、1点狙いが成功する確率が95%となるまでにガチャを回す回数のおよその数は

160×3.0=480

より480回

★4の1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値だけガチャを回したとき、1点狙いが成功する確率は、

-ln(1-r)=1

とおいてrについて解くことで得られます。

結果は自然対数の底eを用いて

r=1-1/e=0.6321…

となります。

したがって、期待値だけ回したときは63.2%の確率で1点狙いが成功することがわかります。

近似したことによる誤差が気になるかもしれませんが、p/s=1%のときの誤差率は0.005程度です。

後の節での便宜上

k=-ln(1-r)

とおきます。

このkを用いると表題のガチャ回数は

s/p*k

と表せます。

下のグラフはこのkを表したものです。

比較のために現実のカプセルトイのようなガチャ（いわゆるボックスガチャ）の場合も表示しています。

現実には無限にガチャを回すことはできませんから、1点狙いが成功しなくても途中でガチャを回すのをやめる場合の期待値を求めてみます。

★4の1点狙いが成功するか、1点狙いが成功する確率がある確率となるガチャ回数に達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値は

(★4の1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値)×(ある確率)

です。

前の節で用いられる文字で表すと

s/p*r

となります。

例：★4排出率が10%、★4が16種類あるガチャを回す場合

★4の1点狙いが成功するか、1点狙いが成功する確率が50%となるガチャ回数に達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値は

16/10%×50%=80

より80回

ガチャに★4が8種類あるとき、★4の1点狙いが成功するか、1点狙いが成功する確率がrとなるガチャ回数に達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値

ガチャに★4が16種類あるとき、★4の1点狙いが成功するか、1点狙いが成功する確率がrとなるガチャ回数に達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値

★4排出率をp、★4の種類の数をsとします。

4の1点狙いが成功するか、ガチャ回数がnに達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値は

s/p*(1-(1-p/s)^n)

です。

例：★4排出率が10%、★4が16種類あるガチャを回す場合

★4の1点狙いが成功するか、ガチャ回数が110回に達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値は

16/10%*(1-(1-10%/16)^110)=79.72…

より約80回

これまでの考察を用いて

s/p*r=s/p*(1-exp(-N*p/s))

としても計算できます。

ガチャに★4が8種類あるとき、★4の1点狙いが成功するか、ガチャ回数がn=8k/pに達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値

ガチャに★4が16種類あるとき、★4の1点狙いが成功するか、ガチャ回数がn=16k/pに達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値

最大でN回ガチャを回せるとして、r=1-exp(-N*p/s)の確率で1点狙いを成功させる場合の様子を調べます。

(1点狙いが成功する確率がr以上となるまでにガチャを回す回数)

を

(★4の1点狙いが成功するか、1点狙いが成功する確率がr以上となるガチャ回数に達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値のおよその数)

で割ってみます。

N/(s/p*r)

=(s/p*k)/(s/p*r)

=k/r

=-ln(1-r)/r

rが0%に近いときはこの倍率は1に近い値になります。

逆にrが100%に近づくとこの倍率は無限大に発散します。

これはrが小さいときは最大のガチャ回数が現実的な期待値に近いが、rが大きくしていくと最大のガチャ回数が現実的な期待値に対して爆発的に増加する、ということを意味しています。

下のグラフはこの倍率を表したものです。

比較のためにボックスガチャの場合も表示しています。

いくつかある★4のうち、2種類を狙って両方とも引き当てる確率です。

★4排出率をp、★4の種類の数をsとします。

ガチャをn回回すまでに2点狙いが成功する確率は

1-2*(1-p/s)^n+(1-2*p/s)^n

です。

ガチャをn回回すまでに狙っている2種類のどちらも出現しない確率は

(1-2*p/s)^n

です。

★4排出率が10％、★4が16種類あるガチャを回した場合を下の図に示します。

2点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値は

(★4の種類の数)/(★4排出率)×1.5

です。

なお、3点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値は

(★4の種類の数)/(★4排出率)×11/6

です。

ある回数ガチャを回すまでに1点狙いが成功する確率が分かっているとき、この回数回すまでに2点狙いが成功する確率のおよその値は

(ある回数ガチャを回すまでに1点狙いが成功する確率)^2

です。

例：ある回数ガチャを回すまでに1点狙いが成功する確率が50%の場合

この回数回すまでに2点狙いが成功する確率のおよその値は

50%^2=0.25

より25%

ある回数ガチャを回すまでに1点狙いが成功する確率が分かっているとき、この回数回すまでに3点狙いが成功する確率のおよその値は

(ある回数ガチャを回すまでに1点狙いが成功する確率)^3

です。

例：ある回数ガチャを回すまでに1点狙いが成功する確率が50%の場合

この回数回すまでに3点狙いが成功する確率のおよその値は

50%^3=0.125

より12.5%

図はこの関数をプロットしたものです。

2点狙いが成功する確率がrとなるまでにガチャを回す回数は

s/p*(-ln(1-√r))

です。

3点狙いが成功する確率がrとなるまでにガチャを回す回数は

s/p*(-ln(1-r^(1/3)))

です。

この回数を

(1点狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値)

で割ったものが次の図です。

この回数を

(各狙いが成功するまでにガチャを回す回数の期待値)

で割ったものが次の図です。

(狙いが成功する確率がrとなるまでにガチャを回す回数)

を

(狙いが成功するか、狙いが成功する確率がrとなるガチャ回数に達するとガチャを回すのをやめるとき、ガチャを回す回数の期待値のおよその数)

で割ってみたときのグラフを下に示します。